रामानुजनचे वारस: गणिताचा आनंद घेणार्या मुलांना भेटण्याचा सुखद धक्का!
✪ मुलांचं गणित शिकणं व शिकवणं!
✪ शिकण्याची अशी "प्रक्रिया, "स्पेस" आणि "मिती"
✪ गणित अवघड असतं ह्या भ्रमाला "पूर्ण छेद"
✪ कठिण गोष्टी सोपं करणं इतकं सोपं!
✪ पालकांसाठी व मुलांसाठी सोपं गणिती कोडं
✪ तुमच्या वाढदिवसाला तुम्हांला किती चॉकलेटस मिळायला हवेत?
नमस्कार. आज २२ डिसेंबर म्हणजे जगातला विलक्षण गणितज्ज्ञ असलेल्या श्रीनिवास रामानुजन ह्यांची जयंती व त्यामुळे आज राष्ट्रीय गणित दिवस साजरा केला जातो. ह्या दिवसानिमित्त मुग्धाताई नलावडेंच्या "प्रक्रिया को-लर्निंग स्पेसद्वारे" आयोजित एका सुंदर उपक्रमाचा अनुभव घेता आला. अगदी तिसरी- चौथीपासूनची मुलं गणितातील गमती कशा रंगून जाऊन सांगतात, कसे गणित शिकवणारेही होतात हे अदूसोबत बघता आलं! हा सगळा कार्यक्रमच अफाट सुंदर होता. कार्यक्रमाबरोबर प्रक्रियाचं केंद्रसुद्धा. मुलांना तिथे किती मजा येत असेल, तिथे मुलं काय काय शिकत व शिकवत असतील, हेसुद्धा कळालं.
आजच्या गणित दिवसानिमित्त तिसरी ते सहावीच्या मुलांनी सात ते आठ स्टॉल्स लावले होते. प्रत्येक स्टॉलवर कागद, खडू, फळा, स्वत: तयार केलेल्या आकृत्या ह्यांचा वापर करून मुलं गणितातल्या प्राथमिक संकल्पना समजावून सांगत होते. प्रत्येक स्टॉलवर तीन मुलं. संख्यारेषेपासून ते थेट वर्गमूळ, समीकरण व अपूर्णांकांपर्यंत! आणि मुलं हे सगळं सांगत असताना व समजावून देत असताना कोणीही शिक्षक किंवा "प्रक्रियाचे" सदस्य त्यांच्यासोबत नव्हते. मुलांनीच प्रत्येक स्टॉलवर आपापसात गोष्टी ठरवल्या होत्या की, कोणी मल्टीपल (पट) सांगेल, कोणी फॅक्टर (अवयव/ गुणक) सांगेल. मल्टीपलची मुलांनी सांगितलेली सोपी व्याख्या म्हणजे पाढ्यातल्या संख्या! आधुनिक पाटीवर संख्या मांडून मुलं गणिताच्या संकल्पना सोप्या करून सांगत होती. त्याबरोबर वर्ग- वर्गमूळसुद्धा सांगत होती. ज्या संख्येचे विषम अवयव असतात, त्या संख्येचा सगळ्यांत मध्ये असलेला अवयव वर्गमूळ असतो. जसे १६ चे १, २, ४, ८, १६ हे अवयव आहेत. त्यांच्यामध्ये ४ येतो व तो वर्गमूळ आहे असं. १२ संख्येचे अवयव १, २, ३, ४, ६, १२ असे समच आहेत म्हणून १२ चं वर्गमूळ नाही असं.
(मुलांसोबतच्या आकाश दर्शन व फन- लर्न उपक्रमांबद्दलचे व इतर लेख माझ्या ब्लॉगवर उपलब्ध )
मुलांचं हे शिकवणं अदूला दाखवताना खूप छान वाटलं. सगळ्याच स्टॉलवर अशी गंमत बघायला मिळत होती. थोडी कल्पकता वापरली तर अवघड गोष्टीही कशा सोप्या करता येतात, त्याचं हे प्रात्यक्षिक होतं! तितकंच सुंदर त्या मुलांचं सांगणं, समजावून देणं आणि त्यांचा आनंद! सगळ्यांना नीट समजलंय का, हे विचारणं! त्यांची धडपड आणि एकमेकांसोबतची मजा! एके काळी मीसुद्धा पाचवीत असताना आठवी- नववीच्या वर्गावर जाऊन गणितातल्या गमती सांगितल्या होत्या ही आठवण जागी झाली. मुलांनी गणितातल्या संकल्पनांची उजळणीच करून दिली. त्रिकोणातले तीन कोन कसे १८० अंश करतात, त्रिकोण कसे तयार होतात, दोन वर्तुळाच्या मदतीने योग्य मापाचा त्रिकोण कसा काढायचा हे छान समजावलं त्यांनी. त्याबरोबर ८ सेंमी एक बाजू, दुसरी बाजू २ सेंमी व तिसरी बाजू ५ सेंमी असलेला त्रिकोण असू शकत नाही, हेही ते प्रत्यक्ष दाखवत होते! दुसर्या एका स्टॉलवर तर पायथागॉरसच्या सिद्धांताला मुलांनी सिद्ध करून दाखवलं!
पालकांना कळावं म्हणून मराठीत आणि इंग्रजीतही मुलं सांगत होती! गंमत म्हणजे संख्यांच्या square ला square का म्हणतात, हेही त्यांनी सांगितलं. समजा दोनचा वर्ग असेल तर दोन गुणिले दोन म्हणजे : : तर हा दिसताना चौरस दिसतो, म्हणून स्क्वेअर! मोठी संख्या असली तरी तिच्या वर्गाचं रिप्रेझेंटेशन मोठं पण चौरसाकारच दिसणार, म्हणून स्क्वेअर! अपूर्णांक शिकवण्याची पद्धतही खूप छान वाटली. कित्येक विद्यार्थ्यांच्या व पालकांच्या डोक्याला ताप देणारे ते अंश- छेद! पण इथे इतक्या सुंदर पद्धतीने मुला- मुलींनी सांगितले की बस! एका केकचे तीन भाग केले तर केलेले भाग म्हणजे छेद (डिनॉमिनेटर) आणि जर त्यापैकी एकच भाग कोणाला दिला असेल तर तो भाग म्हणजे अंश (न्युमरेटर)! दोन केकचे जर वेगवेगळ्या आकाराचे तुकडे कापले व काही भाग मुलांना दिले तर कोणाला जास्त दिले किंवा कमी दिले किंवा समान दिले हे ठरवता येणार नाही. ते ठरवण्यासाठी समान भाग लागतील!
"प्रक्रियाच्या" केंद्रावर मुलांनी इथे काय काय धमाल केली असेल ह्याची झलक बघायला मिळत होती. भिंतीवर ठिकठिकाणी पोस्टर्स, चित्रं, स्वत: बनवलेल्या वस्तु आणि आकृत्या! त्याबरोबर वेगळी दृष्टी देणारे सुविचार. सगळं वातावरणच साच्यातल्या ठाशीव शिक्षणाला आणि गणित अवघड असतं ह्या भ्रमाला असा दणदणीत "छेद" देणारं! "रामानुजनच्या" वारसांना भेटताना खूप ऊर्जा मिळाली. त्याबरोबरच शेकडो पुस्तकं, वेगवेगळे अंक आणि अनेक उपक्रमांची पर्वणी! शिवाय मला "ओके" वाटत नाहीय, पण तरी मी खूप काही करू शकतो असं सांगणारा किंवा कृतज्ञतेमुळे किती गोष्टी खुल्या होतात हे सांगणारा सुविचार!
मुग्धाताई नलावडें व शिक्षण क्षेत्रातील इतर मंडळींचं "प्रक्रिया को- लर्निंग स्पेस" हे श्रवण, मनन व निदिध्यासनवर भर देणारं एक खुल्या शिक्षणाचं केंद्र आहे. त्यांचे उपक्रम जवळून बघितले पाहिजेत असं वाटलं. आणि हो, मुग्धाताई मूळच्या परभणीच्या व कौटुंबिक ओळखीतल्याच! त्यांच्याशी छान भेट झाली. अदूला वेगवेगळे आवाज काढण्याची प्रतिभा आहे, तिला पुढे संधी द्या, त्या दिशेला घडवा असंही त्यांनी सांगितलं. त्यांच्यातर्फे "प्रक्रिया वाचन कट्टा" हा उपक्रमसुद्धा नियमित प्रकारे घेतला जातो. त्यांच्या कामाविषयी अधिक माहिती इथे मिळू शकेल.
आजच्या गणित दिवसानिमित्त हा लेख वाचणार्या पालकांना व मुलांसाठी एक छोटं कोडं. १५३, ३७०, ३७१ व ४०७ ह्या संख्यांमध्ये एक गणिती गंमत आहे, ती कोणती? आणि अजून एक गंमत. समजा एका मुलीचा वाढदिवस १७ तारखेला येतो. आपण तिला भेट म्हणून दिनांक एक रोजी फक्त एका चॉकलेटपासून सुरूवात करून रोज दुप्पट चॉकलेटस द्यायची ठरवली. जर आपण तिला महिन्याच्या १ तारखेला १ चॉकलेट, २ तारखेला २ चॉकलेटस, ३ तारखेला ४ चॉकलेटस, ४ तारखेला ८ चॉकलेटस, ५ तारखेला १६ चॉकलेटस, ६ तारखेला ३२ चॉकलेटस असे देत गेलो तर १७ तारखेला किती चॉकलेटस द्यावी लागतील? आणि ह्या पद्धतीने तुम्हांला व तुमच्या छोट्यांच्या वाढदिवशी किती चॉकलेटस मिळायला हवीत? सगळ्यांत कमी चॉकलेटस कोणाला मिळतील? कोणाला सगळ्यांत जास्त मिळतील? वाढदिवसाच्या शुभेच्छा देताना हे गणित नक्की लक्षात ठेवा! सर्वांमध्ये असलेल्या विद्यार्थ्यांना गणित दिवसाच्या शुभेच्छा!
- निरंजन वेलणकर. 09422108376
(मुलांसोबतच्या आकाश दर्शन व फन- लर्न उपक्रमांबद्दलचे व इतर लेख माझ्या ब्लॉगवर उपलब्ध )
मुलांचं हे शिकवणं अदूला दाखवताना खूप छान वाटलं. सगळ्याच स्टॉलवर अशी गंमत बघायला मिळत होती. थोडी कल्पकता वापरली तर अवघड गोष्टीही कशा सोप्या करता येतात, त्याचं हे प्रात्यक्षिक होतं! तितकंच सुंदर त्या मुलांचं सांगणं, समजावून देणं आणि त्यांचा आनंद! सगळ्यांना नीट समजलंय का, हे विचारणं! त्यांची धडपड आणि एकमेकांसोबतची मजा! एके काळी मीसुद्धा पाचवीत असताना आठवी- नववीच्या वर्गावर जाऊन गणितातल्या गमती सांगितल्या होत्या ही आठवण जागी झाली. मुलांनी गणितातल्या संकल्पनांची उजळणीच करून दिली. त्रिकोणातले तीन कोन कसे १८० अंश करतात, त्रिकोण कसे तयार होतात, दोन वर्तुळाच्या मदतीने योग्य मापाचा त्रिकोण कसा काढायचा हे छान समजावलं त्यांनी. त्याबरोबर ८ सेंमी एक बाजू, दुसरी बाजू २ सेंमी व तिसरी बाजू ५ सेंमी असलेला त्रिकोण असू शकत नाही, हेही ते प्रत्यक्ष दाखवत होते! दुसर्या एका स्टॉलवर तर पायथागॉरसच्या सिद्धांताला मुलांनी सिद्ध करून दाखवलं!
पालकांना कळावं म्हणून मराठीत आणि इंग्रजीतही मुलं सांगत होती! गंमत म्हणजे संख्यांच्या square ला square का म्हणतात, हेही त्यांनी सांगितलं. समजा दोनचा वर्ग असेल तर दोन गुणिले दोन म्हणजे : : तर हा दिसताना चौरस दिसतो, म्हणून स्क्वेअर! मोठी संख्या असली तरी तिच्या वर्गाचं रिप्रेझेंटेशन मोठं पण चौरसाकारच दिसणार, म्हणून स्क्वेअर! अपूर्णांक शिकवण्याची पद्धतही खूप छान वाटली. कित्येक विद्यार्थ्यांच्या व पालकांच्या डोक्याला ताप देणारे ते अंश- छेद! पण इथे इतक्या सुंदर पद्धतीने मुला- मुलींनी सांगितले की बस! एका केकचे तीन भाग केले तर केलेले भाग म्हणजे छेद (डिनॉमिनेटर) आणि जर त्यापैकी एकच भाग कोणाला दिला असेल तर तो भाग म्हणजे अंश (न्युमरेटर)! दोन केकचे जर वेगवेगळ्या आकाराचे तुकडे कापले व काही भाग मुलांना दिले तर कोणाला जास्त दिले किंवा कमी दिले किंवा समान दिले हे ठरवता येणार नाही. ते ठरवण्यासाठी समान भाग लागतील!
"प्रक्रियाच्या" केंद्रावर मुलांनी इथे काय काय धमाल केली असेल ह्याची झलक बघायला मिळत होती. भिंतीवर ठिकठिकाणी पोस्टर्स, चित्रं, स्वत: बनवलेल्या वस्तु आणि आकृत्या! त्याबरोबर वेगळी दृष्टी देणारे सुविचार. सगळं वातावरणच साच्यातल्या ठाशीव शिक्षणाला आणि गणित अवघड असतं ह्या भ्रमाला असा दणदणीत "छेद" देणारं! "रामानुजनच्या" वारसांना भेटताना खूप ऊर्जा मिळाली. त्याबरोबरच शेकडो पुस्तकं, वेगवेगळे अंक आणि अनेक उपक्रमांची पर्वणी! शिवाय मला "ओके" वाटत नाहीय, पण तरी मी खूप काही करू शकतो असं सांगणारा किंवा कृतज्ञतेमुळे किती गोष्टी खुल्या होतात हे सांगणारा सुविचार!
मुग्धाताई नलावडें व शिक्षण क्षेत्रातील इतर मंडळींचं "प्रक्रिया को- लर्निंग स्पेस" हे श्रवण, मनन व निदिध्यासनवर भर देणारं एक खुल्या शिक्षणाचं केंद्र आहे. त्यांचे उपक्रम जवळून बघितले पाहिजेत असं वाटलं. आणि हो, मुग्धाताई मूळच्या परभणीच्या व कौटुंबिक ओळखीतल्याच! त्यांच्याशी छान भेट झाली. अदूला वेगवेगळे आवाज काढण्याची प्रतिभा आहे, तिला पुढे संधी द्या, त्या दिशेला घडवा असंही त्यांनी सांगितलं. त्यांच्यातर्फे "प्रक्रिया वाचन कट्टा" हा उपक्रमसुद्धा नियमित प्रकारे घेतला जातो. त्यांच्या कामाविषयी अधिक माहिती इथे मिळू शकेल.
आजच्या गणित दिवसानिमित्त हा लेख वाचणार्या पालकांना व मुलांसाठी एक छोटं कोडं. १५३, ३७०, ३७१ व ४०७ ह्या संख्यांमध्ये एक गणिती गंमत आहे, ती कोणती? आणि अजून एक गंमत. समजा एका मुलीचा वाढदिवस १७ तारखेला येतो. आपण तिला भेट म्हणून दिनांक एक रोजी फक्त एका चॉकलेटपासून सुरूवात करून रोज दुप्पट चॉकलेटस द्यायची ठरवली. जर आपण तिला महिन्याच्या १ तारखेला १ चॉकलेट, २ तारखेला २ चॉकलेटस, ३ तारखेला ४ चॉकलेटस, ४ तारखेला ८ चॉकलेटस, ५ तारखेला १६ चॉकलेटस, ६ तारखेला ३२ चॉकलेटस असे देत गेलो तर १७ तारखेला किती चॉकलेटस द्यावी लागतील? आणि ह्या पद्धतीने तुम्हांला व तुमच्या छोट्यांच्या वाढदिवशी किती चॉकलेटस मिळायला हवीत? सगळ्यांत कमी चॉकलेटस कोणाला मिळतील? कोणाला सगळ्यांत जास्त मिळतील? वाढदिवसाच्या शुभेच्छा देताना हे गणित नक्की लक्षात ठेवा! सर्वांमध्ये असलेल्या विद्यार्थ्यांना गणित दिवसाच्या शुभेच्छा!
- निरंजन वेलणकर. 09422108376
१५३, ३७०, ३७१ व ४०७ ह्या संख्यांमध्ये एक गणिती गंमत आहे, ती कोणती?सर्व संख्या या त्या संख्येतील तीनही अंकांच्या घनाची बेरीज आहे. मी स्वतः एका आय आय टी जे ई ई प्रशिक्षण संस्थेत गणित शिकवितो. तसेही अंकांची आकडेमोड मला थोडी लवकर जमते. त्यामुळे उत्तर सुचलं.